Kurtosis는 statistical moment 중 하나(4-th central moment)로 다음과 같이 정의된다.
여기서 kurtosis는 분포의 peakness를 나타내고 이 Kurtosis가 3보다 크면, 정규분포보다 peak가 높고(즉, 최빈값에서의 PDF 값이 더 크다.) 3보다 작으면 정규분포보다 peak가 낮다. 이는 정규분포의 kurtosis 값은 항상 3이라는 뜻인데 이에 대해 증명해보자.
확률 변수 X가 정규분포를 따르면 PDF는 다음과 같다.
그러므로 정규분포의 kurtosis 식은 다음과 같이 구체화할 수 있다.
이 때 피적분함수(적분식 내에 있는 함수)가 평균에 대해서 대칭이므로 해당 적분값은 적분 구간을 평균부터 무한대까지 설정한 값의 2배이다.
그 후 다음과 같이 치환한다.
이 치환을 적용하여 정리하고 부분적분을 적용한다. 부분적분 중 첫 번째 항은 0이 되므로 아래와 같이 정리된다.
그 후 식 5의 치환한 정보를 바탕으로 다시 x에 대해서 나타내고, 식을 정리한다. 이 때 해당 식이 평균에 대해 대칭이라는 사실을 통해 다시 적분구간을 음의 무한대부터 양의 무한대로 수정할 수 있다.(식 4의 전개의 역순)
마지막 식에서 피적분함수의 우측항은 정규분포의 PDF이므로 적분식은 분산에 대한 정의식으로 볼 수 있다. 이를 통해 남은 식 전개를 하면 다음과 같고, 정규분포의 kurtosis가 3이라는 것을 확인할 수 있다.
지금까지의 설명을 바탕으로 전체 식을 전개하면 다음과 같다.
'기타' 카테고리의 다른 글
| 카드 포인트 현금화 하는 방법(여신금융협회) (11) | 2021.01.26 |
|---|